Kuidas leida polünoomi juured

Sisu

• Kui palju juuri?
• Hoiatused
• Juurte leidmine faktooringu abil: näide 1
• Juurte leidmine faktooringu abil: näide 2
• Juurte leidmine graafikute abil

Polünoomi juuri nimetatakse ka selle nulliks, sest juured on x väärtused, mille korral funktsioon võrdub nulliga. Juurte otsimise tegemisel on teie käsutuses mitu tehnikat; faktooring on meetod, mida kasutate kõige sagedamini, kuigi graafik võib olla ka kasulik.

Kui palju juuri?

Vaadake polünoomi kõrgeima astme terminit - see tähendab kõrgeima eksponendiga terminit. See eksponent näitab, mitu juuri polünoomil on. Nii et kui teie polünoomi kõrgeim eksponent on 2, on sellel kaks juuri; kui kõrgeim eksponent on 3, on sellel kolm juuri; ja nii edasi.

Hoiatused

Juurte leidmine faktooringu abil: näide 1

Kõige mitmekülgsem viis juurte leidmiseks on faktoorida oma polünoomi nii palju kui võimalik ja seejärel seada iga termin võrdseks nulliga. See on palju mõttekam, kui olete tutvunud mõne näitega. Mõelge lihtsale polünoomile x² - 4_x: _

Lühike uurimine näitab, et saate arvestada x mõlemast polünoomi terminist, mis annab teile:

x(x – 4)

Seadke iga termin nulli. See tähendab kahe võrrandi lahendamist:




x = 0 on esimene nulliks seatud termin ja

x - 4 = 0 on teine ​​nulliks seatud termin.

Esimese ametiaja lahendus on teil juba olemas. Kui x = 0, siis võrdub kogu avaldis nulliga. Nii x = 0 on üks polünoomi juurtest või null.

Nüüd kaaluge teist ametiaega ja otsustage x. Kui lisate mõlemale küljele 4, on teil:

x - 4 + 4 = 0 + 4, mis lihtsustatakse järgmiselt:

x = 4. Nii et kui x = 4, siis on teine ​​tegur võrdne nulliga, mis tähendab, et ka kogu polünoom võrdub nulliga.

Kuna algne polünoom oli teise astme (kõrgeim eksponent oli kaks), siis teate, et sellel polünoomil on ainult kaks võimalikku juuri. Olete need mõlemad juba leidnud, nii et peate vaid neid loetlema:

x = 0, x = 4

Juurte leidmine faktooringu abil: näide 2

Siin on veel üks näide selle kohta, kuidas leida juuri juurutamise teel faktooringu abil, kasutades selleks mõnda väljamõeldud algebrat. Vaatleme polünoomi x⁴ - 16. Kiire pilk selle eksponentidele näitab teile, et sellel polünoomil peaks olema neli juuri; nüüd on aeg neid leida.

Kas märkasite, et seda polünoomi saab ümber kirjutada ruutude erinevusena? Nii et selle asemel x⁴ - 16, teil on:

(x²)² – 4²

Mis arvestab ruutude erinevuse valemi abil järgmist:

(x² – 4)(x² + 4)

Esimene ametiaeg on jällegi ruutude erinevus. Nii et kuigi te ei saa parempoolset terminit enam mõjutada, saate vasakpoolset terminit faktoriseerida veel ühe sammu võrra:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Nüüd on aeg nullid leida. Kiiresti saab selgeks, et kui x = 2, esimene tegur võrdub nulliga ja seega on kogu avaldis võrdne nulliga.

Samamoodi, kui x = -2, teine ​​tegur võrdub nulliga ja seega ka kogu avaldis.

Nii x = 2 ja x = -2 on selle polünoomi mõlemad nullid või juured.

Aga kuidas see viimane ametiaeg on? Kuna sellel on "2" eksponent, peaks sellel olema kaks juuri. Kuid te ei saa seda väljendit faktiliste arvude abil arvutada. Peate kasutama väga arenenud matemaatilist kontseptsiooni, mida nimetatakse kujuteldavaks numbriks või, kui eelistate, keeruliseks numbriks. See ületab kaugelt teie praeguse matemaatikapraktika ulatuse, nii et praegu piisab sellest, kui märkida, et teil on kaks tõelist juurt (2 ja -2) ja kaks kujuteldavat juurt, mille saate määratlemata jätta.

Juurte leidmine graafikute abil

Samuti võite graafiliselt leida juured või vähemalt hinnata neid. Iga juur tähistab kohta, kus funktsiooni graafik ristub x telg. Nii et kui jooned joone välja ja märkad siis x koordinaadid, kus joon ristub x telje korral saate sisestada hinnangulise x nende punktide väärtused võrrandisse ja kontrollige, kas olete need õigeks saanud.

Mõelge polünoomi jaoks esimesele näitele, mille töötasite x² - 4_x_. Kui joonistate selle ettevaatlikult välja, näete, et joon ristub x telje juures x = 0 ja x = 4. Kui sisestate kõik need väärtused algsesse võrrandisse, saate:

0² - 4 (0) = 0, nii x = 0 oli selle polünoomi kehtiv null või juur.

4² - 4 (4) = 0, nii x = 4 on ka selle polünoomi kehtiv null või juur. Ja kuna polünoomi aste oli 2. aste, teate, et võite lõpetada kahe juure leidmise.