Sisu
Geomeetrias on kaheksanurk kaheksa küljega hulknurk. Tavalisel kaheksanurgal on kaheksa võrdset külge ja võrdne nurk. Tavalist kaheksanurka tuntakse stoppmärkide järgi. Oktaeder on kaheksapoolne polüeeder. Tavalisel oktaederil on kaheksa võrdse pikkusega servaga kolmnurka. See on tegelikult kaks ruudu püramiidi, mis kohtuvad nende baasides.
Kaheksanurkne ala valem
Regulaarse kaheksanurga pindala valem pikkusega "a" on 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, kus "sqrt" tähistab ruutjuurt.
Tuletus
Kaheksanurki võib vaadelda kui 4 ristkülikut, üks ruut keskel ja neli võrdkülgset kolmnurka nurkades.
Ruut on pindala a ^ 2.
Kolmnurkadel on küljed a, a / sqrt (2) ja a / sqrt (2), Pythagorase teoreemi järgi. Seetõttu on mõlemal pindala ^ 2/4.
Ristkülikute pindala on a * a / sqrt (2).
Nende 9 ala summa on 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Oktaeedrimahu valem
Regulaarse kaheksaeedrise ruumala valem "a" on ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Tuletus
Neljapoolse püramiidi pindala on aluse * kõrgus / 3. Pikliku kaheksanurga pindala on seega 2 * aluse * kõrgus / 3.
Alus = a ^ 2 triviaalselt.
Valige kaks kõrvuti asetsevat tippu, öeldes "F" ja "C." "O" on keskel. FOC on võrdküldselt täisnurkne kolmnurk alusega "a", nii et OC ja OF on Pythagorase teoreemi järgi pikkusega a / sqrt (2). Seega kõrgus = a / sqrt (2).
Seega on tavalise oktaederi ruumala 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Pindala
Regulaarse kaheksaeedri pind on külje "a" võrdkülgse kolmnurga pindala, korda 8 nägu.
Pythagorase teoreemi kasutamiseks tilgutage joon tipust baasi. See loob kaks parempoolset kolmnurka, mille hüpotenuus on pikkusega "a" ja ühe külje pikkus on "a / 2". Seetõttu peab kolmas külg olema sqrt = sqrt (3) a / 2. Nii on võrdkülgse kolmnurga pindala kõrgus * alus / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
8 küljega on tavalise oktaeedri pindala 2 * sqrt (3) * a ^ 2.