Kuidas arvutada Eigenvalues

Sisu

• Maatriksid, Eigenvalues ​​ja Eigenvektorid: mida nad tähendavad
• Kuidas arvutada Eigenvalues
• Näpunäited
• Eigenvektorite otsimine

Kui teile esitatakse maatriks matemaatika- või füüsikatunnis, palutakse teil sageli leida selle omaväärtused. Kui te pole kindel, mida see tähendab või kuidas seda teha, on ülesanne hirmutav ja hõlmab palju segaseid terminoloogiaid, mis muudab asja veelgi hullemaks. Omaväärtuste arvutamise protsess ei ole aga liiga keeruline, kui teil on ruut- (või polünoomi) võrrandite lahendamine teile eeldus, kui olete õppinud maatriksite, omaväärtuste ja omavektorite põhitõdesid.

Maatriksid, Eigenvalues ​​ja Eigenvektorid: mida nad tähendavad

Maatriksid on numbrimassiivid, kus A tähistab üldmaatriksi nime, näiteks:

( 1 3 )

A = ( 4 2 )

Numbrid igas asendis erinevad ja nende asemel võib olla isegi algebralisi väljendeid. See on 2 × 2 maatriks, kuid need on erineva suurusega ja neil ei ole alati võrdset arvu ridu ja veerge.

Maatriksitega tegelemine erineb tavaliste numbritega töötamisest ning nende jaoks korrutamiseks, jagamiseks, liitmiseks ja lahutamiseks on olemas konkreetsed reeglid. Maatriksi algebras kasutatakse termineid “omaväärtus” ja “omavektor”, et tähistada maatriksi suhtes kahte iseloomulikku suurust. See omaväärtuse probleem aitab teil mõista, mida see mõiste tähendab:

A ∙ v = λ ∙ v

A on üldine maatriks nagu enne, v on mõni vektor ja λ on iseloomulik väärtus. Vaadake võrrandit ja pange tähele, et maatriksi korrutamisel vektoriga v, reprodutseeritakse sama vektor, korrutatuna väärtusega λ. See on ebaharilik käitumine ja teenib vektori v ja kogus λ erinimed: omavektor ja omaväärtus. Need on maatriksi iseloomulikud väärtused, kuna maatriksi korrutamine omavektoriga jätab vektori muutumatuks, välja arvatud korrutamine omaväärtuse teguriga.

Kuidas arvutada Eigenvalues

Kui teil on mingil kujul maatriksi omaväärtuse probleem, on omaväärtuse leidmine lihtne (kuna tulemus on vektoriga sama, mis algsel, kuid korrutatakse konstantse teguriga - omaväärtusega). Vastus leitakse maatriksi iseloomuliku võrrandi lahendamise teel:

det (A – λMina) = 0

Kus Mina on identsusmaatriks, mis on tühi, välja arvatud 1-seeriad, mis kulgevad maatriksist diagonaalselt. „Det” tähistab maatriksi determinanti, mis üldmaatriksi puhul:

(a b)

A = (c d)

On andnud

det A = ad –bc

Karakteristlik võrrand tähendab:

(a - λb)

det (A – λMina) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Määratleme näitena maatriksi A kui:

( 0 1 )

A = (−2 −3 )

See tähendab:

det (A – λMina) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Λ lahendid on omaväärtused ja te lahendate selle nagu iga ruutvõrrand. Lahused on λ = - 1 ja λ = - 2.

Näpunäited

Eigenvektorite otsimine

Omavektorite leidmine on sarnane protsess. Kasutades võrrandit:

(A – λ) ∙ v = 0

koos kõigi leitud omaväärtustega. See tähendab:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(A – λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Selle saate lahendada, kui kaalute iga rida järjest. Teil on vaja ainult suhet v₁ kuni v₂, sest selleks on lõpmata palju potentsiaalseid lahendusi v₁ ja v₂.