Eukleidese vahemaa on vahemaa kahe punkti vahel Eukleidese ruumis. Eukleidilise kosmose kujundas algselt kreeka matemaatik Euclid umbes 300 B.C.E. uurida nurkade ja vahemaade suhteid. See geomeetriasüsteem on tänapäevalgi kasutusel ja seda õpivad keskkooliõpilased kõige sagedamini. Eukleidiline geomeetria kehtib konkreetselt kahemõõtmeliste ja kolmemõõtmeliste ruumide kohta. Kuid seda saab hõlpsalt üldistada kõrgema järgu mõõtmeteni.
Arvuta Eukleidese vahemaa ühe mõõtme jaoks. Kaugus ühes dimensioonis kahe punkti vahel on lihtsalt nende koordinaatide erinevuse absoluutväärtus. Matemaatiliselt näidatakse seda | p1 - q1 | kus p1 on esimese punkti esimene koordinaat ja q1 on teise punkti esimene koordinaat. Me kasutame selle erinevuse absoluutväärtust, kuna tavaliselt peetakse vahekauguseks ainult mittenegatiivset väärtust.
Võtke kaks punkti P ja Q kahemõõtmelises Eukleidese ruumis. Kirjeldame P koordinaatidega (p1, p2) ja Q koordinaatidega (q1, q2). Konstrueerige nüüd sirgjoon, mille lõpp-punktid on P ja Q. See joonelõik moodustab parempoolse kolmnurga hüpotenuusi. Laiendades 1. etapis saadud tulemusi, märgime, et selle kolmnurga jalgade pikkused on antud | p1 - q1 | ja | p2 - q2 |. Kahe punkti vaheline kaugus antakse hüpotenuusi pikkusena.
Hüpotenuusi pikkuse määramiseks 2. etapis kasutage Pythagorase teoreemi. See teoreem väidab, et c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, kus c on hüpotoenuse täisnurga kolmnurga pikkus ja a, b on teise pikkus kaks jalga. See annab meile c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Seetõttu on kahemõõtmelises ruumis kahe punkti P = (p1, p2) ja Q = (q1, q2) vaheline kaugus ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Laiendage 3. sammu tulemused kolmemõõtmeliseks. Punktide P = (p1, p2, p3) ja Q = (q1, q2, q3) ja Q = (q1, q2, q3) vaheline kaugus saab seejärel olla järgmine ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Üldistage 4. etapis saadud lahendus kahe punkti P = (p1, p2, ..., pn) ja Q = (q1, q2, ..., qn) vahelise kauguse vahel n-mõõtmetega. Selle üldlahenduse võib anda järgmiselt: ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).