Sisu
- Absoluutse väärtuse ebavõrdsuse määratlus
- Kuidas lahendada absoluutväärtuse ebavõrdsus
- Absoluutne väärtuste ebavõrdsus ilma lahenduseta
- Intervalli märge
Absoluutväärtuste ebavõrdsuste lahendamine sarnaneb absoluutväärtuste võrrandite lahendamisega, kuid meeles on veel paar lisateavet. See aitab absoluutväärtuste võrrandite lahendamisel juba mõnusalt käituda, kuid see on okei, kui õpite neid ka koos!
Absoluutse väärtuse ebavõrdsuse määratlus
Esiteks absoluutväärtuse ebavõrdsus on ebavõrdsus, mis hõlmab absoluutse väärtuse väljendamist. Näiteks,
| 5 + x | - 10> 6 on absoluutväärtuse ebavõrdsus, kuna sellel on ebavõrdsuse märk,> ja absoluutväärtuse avaldis, | 5 + x |.
Kuidas lahendada absoluutväärtuse ebavõrdsus
sammud absoluutse väärtuse ebavõrdsuse lahendamiseks sarnanevad absoluutväärtuse võrrandi lahendamise sammudega:
Samm 1: Isoleerige absoluutväärtuse avaldis ebavõrdsuse ühel küljel.
2. samm: Lahendage ebavõrdsuse positiivne "versioon".
3. samm: Lahendage ebavõrdsuse negatiivne "versioon", korrutades ebavõrdsuse teisel küljel oleva suuruse arvuga -1 ja libistades ebavõrdsuse märgi.
Seal on korraga palju võtta, nii et siin on näide, mis juhendab teid sammudest läbi.
Lahendage ebavõrdsus x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Selleks hankige | 5 + 5_x_ | iseenesest ebavõrdsuse vasakpoolsel küljel. Peate vaid lisama mõlemale küljele 3:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Nüüd on ebavõrdsusest kaks "versiooni", mida peame lahendama: positiivne "versioon" ja negatiivne "versioon".
Selle sammu jaoks eeldage, et asjad on sellised, nagu nad paistavad: et 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
See on lihtne ebavõrdsus; peate lihtsalt lahendama x nagu tavaliselt. Lahutage mõlemalt küljelt 5, jagage mõlemad pooled 5-ga.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (lahutage mõlemalt küljelt viis)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (jagage mõlemad pooled viieks)
x > 0.
Pole paha! Niisiis on üks võimalik lahendus meie ebavõrdsusele x > 0. Kuna tegemist on absoluutsete väärtustega, kaalub aeg mõnda muud võimalust.
Selle järgmise osa mõistmiseks aitab see meelde jätta, mida absoluutväärtus tähendab. Absoluutväärtus mõõdab numbrite kaugust nullist. Kaugus on alati positiivne, seega 9 on nullist üheksa ühikut, kuid −9 on ka nullist üheksa ühikut.
Nii | 9 | = 9, kuid | −9 | = 9 samuti.
Nüüd tagasi ülaltoodud probleemi juurde. Ülaltoodud töö näitas seda | 5 + 5_x_ | > 5; teisisõnu, "millegi" absoluutväärtus on suurem kui viis. Nüüd saab iga positiivne arv, mis on suurem kui viis, nullist kaugemal kui viis. Esimene võimalus oli, et "midagi" 5 + 5_x_ on suurem kui 5.
See tähendab: 5 + 5_x_> 5.
See on eespool 2. etapis käsitletud stsenaarium.
Mõelge nüüd natuke kaugemale. Mis veel on viis ühikut nullist eemal? Noh, negatiivne viis on. Ja kõik, mis asub negatiivse viie numbrijoone kohal, on nullist veelgi kaugemal. Seega võib meie "miski" olla negatiivne arv, mis on nullist kaugemal kui viis negatiivset. See tähendab, et see oleks suurema kõlaga number, kuid tehniliselt vähem kui negatiivne viis, kuna see liigub numbriliinil negatiivses suunas.
Nii et meie "miski" 5 + 5x võiks olla väiksem kui −5.
5 + 5_x_ <−5
Kiire viis selle algebraliseks tegemiseks on korrutada ebavõrdsuse teisel küljel asuv kogus 5 negatiivsega, seejärel pöörata ebavõrdsuse märk:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Seejärel lahendage nagu tavaliselt.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (lahutage 5 mõlemalt küljelt)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x < −2.
Seega on ebavõrdsuse kaks võimalikku lahendust x > 0 või x <−2. Kontrollige ennast, ühendades mõned võimalikud lahendused ja veenduge, et ebavõrdsus kehtib endiselt.
Absoluutne väärtuste ebavõrdsus ilma lahenduseta
On olemas stsenaarium, kus oleks puuduvad lahendused absoluutväärtuse ebavõrdsusele. Kuna absoluutväärtused on alati positiivsed, ei saa nad olla võrdsed või väiksemad kui negatiivsed arvud.
Nii | x | <−2 on lahendust pole sest absoluutse väärtuse avaldamise tulemus peab olema positiivne.
Intervalli märge
Kirjutage lahendus meie peamisele näitele intervalli märkimine, mõelge, kuidas lahendus numbrireal välja näeb. Meie lahendus oli x > 0 või x <−2. Numbriridal tähendab see avatud punkti 0 juures, sirge ulatudes positiivse lõpmatuseni ja avatud punkti juures –2, sirgega ulatudes negatiivse lõpmatuseni. Need lahendused on suunatud üksteisest eemale, mitte üksteise poole, nii et võtke iga tükk eraldi.
Kui numbrireal on x> 0, on avatud punkt nullpunktis ja seejärel joon, mis ulatub lõpmatuseni. Intervallide märkimisel on avatud punkt näidatud sulgudes () ja suletud punkt või ebavõrdsused, kui ≥ või ≤ on sulgudes,. Nii et x > 0, kirjutage (0, ∞).
Teine pool, x <−2, numbrireal on avatud punkt −2 juures ja seejärel nool, mis ulatub lõpuni −∞. Intervallidena on see (−∞, −2).
"Või" intervallmärkus on liitumärk, ∪.
Nii et lahendus intervallide märkimisel on (−∞, −2) ∪ (0, ∞).