Sisu
Matemaatikas tekib mõnikord vajadus tõestada, kas funktsioonid on lineaarses mõttes üksteisest sõltuvad või sõltumatud. Kui teil on kaks lineaarselt sõltuvat funktsiooni, annavad nende funktsioonide võrrandite graafikud punktid, mis kattuvad. Sõltumatute võrranditega funktsioonid ei kattu. Üks meetod funktsioonide sõltuvuse või sõltumatuse määramiseks on funktsioonide Wronskian arvutamine.
Mis on Wronskian?
Kahest või enamast funktsioonist koosnev Wronskian on nn determinant, mis on spetsiaalne funktsioon, mida kasutatakse matemaatiliste objektide võrdlemiseks ja nende kohta teatud faktide tõestamiseks. Wronskianuse puhul kasutatakse determinanti kahe või enama lineaarse funktsiooni sõltuvuse või sõltumatuse tõestamiseks.
Wronski maatriks
Wronskiani lineaarsete funktsioonide arvutamiseks tuleb funktsioonid lahendada sama väärtuse jaoks maatriksis, mis sisaldab nii funktsioone kui ka nende tuletisi. Selle näide on W (f, g) (t) = | ff((tt)) gg((tt)) |, mis annab Wronskianile kaks funktsiooni (f ja g), mis lahendatakse ühe väärtuse korral, mis on suurem kui null (t); maatriksi ülemises reas näete kahte funktsiooni f (t) ja g (t) ning alumises reas tuletisi f (t) ja g (t). Pange tähele, et Wronskianit saab kasutada ka suuremate komplektide jaoks. Näiteks kui katsetate Wronskianiga kolme funktsiooni, võite sisestada maatriksi funktsioonide ja tuletistega f (t), g (t) ja h (t).
Wronski lahendamine
Kui funktsioonid on maatriksis järjestatud, korrutage iga funktsioon teise funktsiooni tuletisega ja lahutage esimene väärtus teisest. Ülaltoodud näite korral annab see teile W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Kui lõplik vastus võrdub nulliga, näitab see, et kaks funktsiooni on sõltuvad. Kui vastus on midagi muud kui null, on funktsioonid sõltumatud.
Wronski näide
Selle toimimise paremaks mõistmiseks eeldage, et f (t) = x + 3 ja g (t) = x - 2. Kasutades väärtust t = 1, saate funktsioonid lahendada nii, nagu f (1) = 4 ja g (1) = -1. Kuna need on lineaarsed põhifunktsioonid, mille kalle on 1, võrduvad f (t) ja g (t) tuletised 1. Väärtuste ristkorrutamine annab W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), mis annab lõpptulemuse 5. Ehkki mõlemal lineaarsel funktsioonil on sama kalle, on nad sõltumatud, kuna nende punktid ei kattu. Kui f (t) oleks andnud tulemuse -1 asemel 4, oleks Wronskian andnud sõltuvuse näitamiseks tulemuseks nulli.