Kuidas keerulisi numbreid lihtsustada

Sisu

• TL; DR (liiga pikk; ei lugenud)
• Mis on kompleksarv?
• Põhireeglid keerukate numbritega algebral
• Kompleksarvude jagamine
• Keeruliste numbrite lihtsustamine

Algebra hõlmab sageli väljendite lihtsustamist, kuid mõnede väljendite käsitlemine on segamini ajav kui teistega. Kompleksarvud hõlmavad kogust, mida nimetatakse i, "kujuteldav" number koos varaga i = √ − 1. Kui peate lihtsalt keerulise numbriga avaldist kasutama, võib see tunduda hirmutav, kuid see on üsna lihtne protsess, kui olete põhireeglid selgeks õppinud.

TL; DR (liiga pikk; ei lugenud)

Lihtsustage keerulisi numbreid, järgides keeruliste numbritega algebra reegleid.

Mis on kompleksarv?

Kompleksarvud määratletakse nende lisamisega i termin, mis on miinus ühe ruutjuur. Algtaseme matemaatikas ei ole negatiivsete arvude ruutjuure tegelikult olemas, kuid aeg-ajalt ilmnevad need algebral. Kompleksnumbri üldvorm näitab nende struktuuri:

z = a + bi

Kus z tähistab keerulise numbri, a tähistab suvalist arvu (nimetatakse “pärisosaks”) ja b tähistab teist arvu (mida nimetatakse kujuteldavaks osaks), mis mõlemad võivad olla positiivsed või negatiivsed. Nii et näiteks kompleksne arv on:

z = 2 −4_i_

Kuna kõik negatiivsete arvude ruutjuured võivad olla jagatud korrutisega i, see on kõigi keeruliste numbrite vorm. Tehniliselt kirjeldab tavaline number keerulise numbri erijuhtu, kus b = 0, nii et kõiki numbreid võiks pidada keerukateks.

Põhireeglid keerukate numbritega algebral

Kompleksarvude liitmiseks ja lahutamiseks lihtsalt lisage või lahutage tegelik ja kujuteldav osa eraldi. Nii keerukate numbrite jaoks z = 2 - 4_i_ ja w = 3 + 5_i_, summa on:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)i

= 5 + 1_i_ = 5 + i

Numbrite lahutamine toimib samal viisil:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)i

= −1 - 9_i_

Korrutamine on veel üks lihtne toiming keerukate numbritega, kuna see toimib nagu tavaline korrutamine, välja arvatud juhul, kui peate seda meeles pidama i² = −1. 3_i_ × −4_i_ arvutamiseks:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Aga kuna i²= −1, siis:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

Täielike kompleksnumbritega (kasutades z = 2 - 4_i_ ja w = Jälle 3 + 5_i_), korrutate need samamoodi nagu tavaliste numbritega nagu (a + b) (c + d), kasutades meetodit “esimene, sisemine, välimine, viimane” (FOIL), et saada (a + b) (c + d) = ac + bc + kuulutus + bd. Kõik, mida peate meeles pidama, on kõigi juhtumite lihtsustamine i². Näiteks näiteks:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Kompleksarvude jagamine

Kompleksarvude jagamine hõlmab fraktsiooni lugeja ja nimetaja korrutamist nimetaja kompleksse konjugaadiga. Kompleksne konjugaat tähendab lihtsalt kompleksinumbri versiooni, mille kujuteldav osa on tähisega tagurpidi. Nii et z = 2 - 4_i_, keeruline konjugaat z = 2 + 4_i_ ja jaoks w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Probleemi jaoks:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Vajalik konjugaat on w*. Jagage lugeja ja nimetaja sellega, et saada:

z / w = (2–4_i_) (3 –5_i_) / (3 + 5_i _) (3–5_i_)

Ja siis töötate läbi nagu eelmises osas. Lugeja annab:

(2–4_i_) (3 –5_i_) = 6–12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

Ja nimetaja annab:

(3 + 5_i _) (3–5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

See tähendab:

z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Keeruliste numbrite lihtsustamine

Kasutage keerukate avaldiste lihtsustamiseks ülaltoodud reegleid. Näiteks:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - i)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i))

Seda saab lihtsustada, kasutades lugejas liitmisreeglit, nimetajas korrutamisreeglit ja seejärel jagunemist. Lugeja jaoks:

(4 + 2_i_) + (2 - i) = 6 + i

Nimetaja jaoks:

(2 + 2_i _) (2+ i) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Nende paika panemine annab:

z = (6 + i) / (2 + 6_i_)

Mõlema osa korrutamine nimetaja konjugaadiga annab tulemuseks:

z = (6 + i) (2–6_i_) / (2 + 6_i_) (2–6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18-34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

See tähendab z lihtsustatakse järgmiselt:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - i)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i)) = 9/20 −17_i_ / 20