Kuidas leida kahe punktiga eksponentsiaalvõrrand

Sisu

• Miks eksponentsiaalsed funktsioonid on olulised?
• Punktide paarist graafikuni
• Üks punkt X-teljel
• Kumbki punkt X-teljel
• Näide pärismaailmast

Kui teate kahte punkti, mis langevad kindlale eksponentsiaalsele kõverale, saate kõvera määratleda, lahendades nende punktide abil üldise eksponentsiaalse funktsiooni. Praktikas tähendab see punktide y ja x asendamist võrrandis y = ab^x. Protseduur on lihtsam, kui ühe punkti x-väärtus on 0, mis tähendab, et punkt asub y-teljel. Kui kummalgi punktil pole nulli x-väärtust, on x ja y lahendamise protsess keerukam.

Miks eksponentsiaalsed funktsioonid on olulised?

Paljud olulised süsteemid järgivad kasvu ja lagunemise eksponentsiaalseid mustreid. Näiteks suureneb bakterite arv koloonias tavaliselt plahvatuslikult ja tuumajuhtumi järgselt atmosfääri ümbritsev kiirgus väheneb tavaliselt plahvatuslikult. Andmete võtmise ja kõvera joonistamise kaudu on teadlastel parem prognoosida.

Punktide paarist graafikuni

Kahemõõtmelise graafi mis tahes punkti saab tähistada kahe numbriga, mis kirjutatakse tavaliselt kujul (x, y), kus x tähistab horisontaalset kaugust lähtepunktist ja y tähistab vertikaalset vahemaad. Näiteks punkt (2, 3) on kaks ühikut paremal y-teljest ja kolm ühikut x-telje kohal. Teisest küljest on punkt (-2, -3) kaks ühikut y-teljest vasakul. ja kolm ühikut x-telje all.

Kui teil on kaks punkti, (x₁, y₁) ja (x₂, y₂), saate määratleda eksponentsiaalse funktsiooni, mis neid punkte läbib, asendades need võrrandis y = ab^x ning a ja b lahendamine. Üldiselt peate selle võrrandipaari lahendama:

y₁ = ab^x1 ja y₂ = ab^x2, .

Sellisel kujul näeb matemaatika pisut keeruline, kuid pärast mõne näite tegemist tundub see vähem.

Üks punkt X-teljel

Kui üks x-väärtustest - öelge x₁ - on 0, toiming muutub väga lihtsaks. Näiteks punktide (0, 2) ja (2, 4) võrrandi lahendamine annab:

2 = ab⁰ ja 4 = ab². Kuna me teame, et b⁰ = 1, siis saadakse esimesest võrrandist 2 = a. Asendamine teises võrrandis annab tulemuseks 4 = 2b², mida me lihtsustame b-ks² = 2 või b = ruutjuur 2-st, mis võrdub umbkaudu 1,41. Defineeriv funktsioon on siis y = 2 (1,41)^x.

Kumbki punkt X-teljel

Kui kumbki x-väärtus pole null, on võrrandipaari lahendamine pisut tülikam. Henochmath tutvustab meid lihtsa näitega, kuidas seda protseduuri selgitada. Oma näites valis ta punktide paari (2, 3) ja (4, 27). Nii saadakse järgmine võrrandipaar:

27 = ab⁴

3 = ab²

Kui jagate esimese võrrandi teisega, saate tulemuse

9 = b²

nii, et b = 3. Võimalik, et b on ka võrdne -3-ga, kuid eeldage sel juhul positiivset.

Selle väärtuse saab b asendada mõlemas võrrandis, et saada a. Teist võrrandit on lihtsam kasutada, nii et:

3 = a (3)² mida saab lihtsustada väärtuseks 3 = a9, a = 3/9 või 1/3.

Neid punkte läbiv võrrand saab kirjutada järgmiselt y = 1/3 (3)^x.

Näide pärismaailmast

Alates 1910. aastast on inimeste populatsiooni kasv olnud hüppeline ja kasvukõvera joonistades on teadlastel parem positsioon tuleviku ennustamiseks ja kavandamiseks. 1910. aastal oli maailma rahvastik 1,75 miljardit ja 2010. aastal 6,87 miljardit. Kui võtta lähtepunktiks 1910. aasta, annab see punktide paari (0, 1,75) ja (100, 6,87). Kuna esimese punkti x-väärtus on null, leiame hõlpsalt a.

1,75 = ab⁰ või a = 1,75. Selle väärtuse ühendamine teise punkti väärtustega üldisesse eksponentsiaalvõrrandisse annab tulemuseks 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, mis annab väärtuse b kui sajanda juure väärtuse 6,87 / 1,75 või 3,93. Nii saab võrrand y = 1,75 (3,93 sajandikjuur)^x. Ehkki selle tegemiseks on vaja rohkem kui slaidireeglit, saavad teadlased seda võrrandit kasutada tulevaste elanike arvu prognoosimiseks, et aidata praegustel poliitikutel luua sobivaid põhimõtteid.